第二章 基带信号调制与解调

一、数字基带传输基础¶

1.1 核心定义与研究价值¶

• 基带信号：频率范围从直流到有限值的低通信号，未经载波调制，频谱从零频/很低频率开始。
• 数字基带传输系统：不经载波调制，直接传输数字基带信号的系统，适用于近距离传输（局域网、电话系统等）。
• 研究价值：
• 基带传输是数字通信的基础，带通传输系统必先将数字序列调制成基带信号，再做载波调制；
• 基带传输可直接在双绞线、电缆等信道实现，有大量实际工程应用。

1.2 数字基带传输系统完整链路¶

发送端：码型变换 → 发送滤波器 → 传输信道
接收端：传输信道 → 接收滤波器 → 抽样判决器 → 同步提取 → 信号输出

各模块核心功能：

1.3 常用数字基带信号波形¶

课件中6类核心波形，重点关注特性与工程应用场景：

1. 单极性非归零波形（NRZ）
   • 特点：极性单一，0对应0电平，1对应正电平，有直流和低频分量
   • 应用：设备内部、数字调制器中

2. 双极性非归零波形（NRZ）

   • 特点：0对应负电平，1对应正电平，等概时无直流分量，抗干扰能力强
   • 应用：RS-232C接口标准、数字调制器中

   

3. 单极性归零码（RZ）

   • 特点：高电平持续时间小于码元周期，常用半占空码（占空比50%），可直接提取位定时信号
   • 应用：同步时钟提取的过渡码型

4. 双极性归零码

   • 特点：兼具双极性和归零码特性，易识别码元起止时刻，便于同步

   
   

5. 差分波形（相对码波形）

   • 特点：用相邻码元电平的跳变/不变表示信息，分为传号差分（1跳变、0不变）、空号差分（0跳变、1不变）
   • 优点：消除设备初始状态不确定性带来的影响

6. 多电平波形（多进制波形）

   • 特点：一个脉冲携带多个比特信息，例：四电平波形00→+3E、01→+E、10→-E、11→-3E
   • 优点：码元速率固定时，传信率更高
   • 应用：高速数据传输系统

   
   

1.4 数字基带信号的数学表达式¶

若各码元波形相同、取值不同，基带信号可表示为随机脉冲序列：

• \(a_n\)：第n个码元的电平取值（随机量）
• \(g(t)\)：单码元的脉冲波形（如矩形脉冲、升余弦脉冲），对应第1章的\(g_T(t)\)，\(0 < t < T\)，\(T\)是码元持续时间。
• \(T_B\)：码元持续时间（码元周期），对应第1章的\(T_s\)

通用随机序列表达式：

二、基带信号解调与检测基础¶

2.1 传输误差的两大核心来源¶

1. 加性高斯白噪声（AWGN）
   • 加性：以叠加方式干扰信号；
   • 白：关注频段内功率谱密度平坦；
   • 高斯：幅度取值服从高斯分布
2. 码间串扰（ISI）
   • 成因：发送端、信道、接收端的非理想滤波特性，导致码元波形畸变、拖尾，对当前码元判决造成干扰

2.2 解调与检测的核心定义¶

• 解调：恢复\(t=nT\)时刻采样的波形，核心是通过接收滤波器，在无码间串扰下获得最大信噪比的基带脉冲，可选均衡器补偿信道失真。
• 检测：采样判决过程，将采样值与判决门限比较，选择最可能的发送数字符号，核心是最小化判决错误概率。

2.3 简化基带传输模型¶

\(发送符号 \to s_i(t) \to 信道+噪声n(t) \to r(t)=s_i(t)*h_c(t)+n(t) \to 接收滤波h_r(t) \to z(t) \to 抽样判决(t=T) \to 估计符号\)

• 理想信道下：\(r(t)=s_i(t)+n(t)\)，\(t=T\)时刻采样值\(z(T)=s_i(T)+n_0(T)\)

2.4 模块作用¶

发送滤波器，即信道信号形成器

• 作用：原始基带信号 → 适合于信道传输的基带信号。
• 目的：匹配信道，减少码间串扰，利于同步提取
• 信道：给基带信号提供传输通道

接收滤波器

• 作用：滤除带外噪声，对信道特性均衡
• 目的：使输出的基带波形有利于抽样判决

抽样判决器

• 作用：对接收滤波器的输出波形进行抽样判决
• 目的：确定发送的信码序列，再生基带信号

同步提取 作用：提取用于抽样的位定时脉冲

三、信号与噪声核心模型¶

3.1 信号的表示¶

3.1.1 二进制发送信号¶

对于一个码元：\( s_i(t) \) 表示第 \( i \) 个码元在时域上的发送波形。

• \( s_1(t) \) 和 \( s_2(t) \) 是两个不同的基带脉冲波形，用来分别代表二进制“1”和“0”。
• 它们是在一个码元周期 \( T \) 内定义的确定信号，是单个码元的信号波形，是承载“1”或“0”信息的物理载体。
• 最常见的例子：
• 单极性NRZ码：\( s_1(t) = A \)（恒定正电平），\( s_2(t) = 0 \)（零电平）；
• 双极性NRZ码：\( s_1(t) = +A \)，\( s_2(t) = -A \)；
• 也可以是更复杂的成形脉冲，如升余弦滚降脉冲，以减少码间串扰。

3.1.2 二进制接收信号¶

3.1.3 理想二进制传输¶

其中\(n(t)\)为加性噪声信号。在\(t=T\)时刻接收信号可表示为：

若\(n_0\)是均值为0的高斯随机变量，则\(z_1\)和\(z_2\)分别是均值为\(a_1\)和\(a_2\)的高斯随机变量。

3.2 高斯白噪声（AWGN）数学模型¶

高斯噪声是一个随机过程：
在时域上，任意时刻的噪声值都是一个随机变量
在频域上，噪声的功率谱密度是一个常数（平坦的），即在所有频率上噪声功率相同。

1. 功率谱密度
   双边功率谱：\(G_n(f)=\frac{N_0}{2} \ \text{watts/hertz}\)
   单边功率谱：\(G_n(f)=N_0\)
   • \(N_0\)为噪声单边功率谱密度，是通信系统核心噪声参数

2. 自相关函数

   \[R_n(\tau)=\mathscr{F}^{-1}\{G_n(f)\}=\frac{N_0}{2}\delta(\tau)\]
   • 时域上不同时刻的噪声值互不相关，理想白噪声为理想随机过程
   • 概率密度函数
     均值为0的高斯噪声：
   \[P(n_0)=\frac{1}{\sigma_0 \sqrt{2\pi}} exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{n_0}{\sigma_0}\right)^2\right]\]

   接收采样值\(z(T)\)的条件概率密度（发送\(s_1/s_2\)时）：

   \[\begin{aligned} p(z|S_1) & =\frac{1}{\sigma_0 \sqrt{2\pi}} exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{z-a_1}{\sigma_0}\right)^2\right] \\ \quad p(z|S_2) &=\frac{1}{\sigma_0 \sqrt{2\pi}} exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{z-a_2}{\sigma_0}\right)^2\right]\end{aligned}\]
   • \(a_1、a_2\)为发送\(s_1、s_2\)时的信号采样幅值

更详细的解释可以看：噪声的数学模型-pro

3.3 判决¶

3.3.1 符号解读¶

先把每个符号对应到通信的实际场景，避免纯数学的抽象感，所有符号都和你之前学的二进制发送信号、高斯噪声完全衔接：

3.3.2 公式解读：¶

1. 如果\(z(T) > \gamma_0\)：我们就选择假设\(H_1\)，也就是判决当前码元发送的是\(s_1(t)\)（二进制1）
2. 如果\(z(T) < \gamma_0\)：我们就选择假设\(H_2\)，也就是判决当前码元发送的是\(s_2(t)\)（二进制0）

3.3.3 高斯曲线图解读¶

1. 坐标轴的含义

• 横轴\(z(T)\)：接收端抽样值的大小，从左到右数值越来越大
• 纵轴：条件概率密度\(p(z|s)\)，数值越高，代表这个抽样值出现的可能性越大

2. 两条高斯曲线的物理意义

• 左侧曲线\(p(z|s_2)\)：发送二进制0时，抽样值的分布
  • 峰值在\(a_2\)：因为噪声均值为0，所以发0时，最可能收到的就是\(a_2\)附近的值，离\(a_2\)越远，出现的概率越低
• 右侧曲线\(p(z|s_1)\)：发送二进制1时，抽样值的分布
  • 峰值在\(a_1\)：发1时，最可能收到\(a_1\)附近的值
• 为什么两条曲线形状完全一样？因为加性噪声的方差是固定的，和发送的信号无关，只是均值随发送的\(a_1/a_2\)左右平移。

3. 曲线重叠的核心原因：噪声导致的误码根源
两条曲线有重叠区域，这是数字通信误码的唯一根源：

• 发送1时，噪声可能是很大的负值，导致抽样值\(z(T)\)落到\(a_2\)附近（比如发+1V，噪声-1.5V，收到-0.5V）
• 发送0时，噪声可能是很大的正值，导致抽样值\(z(T)\)落到\(a_1\)附近（比如发-1V，噪声+1.5V，收到+0.5V）
• 重叠区域就是「可能判错的区域」，图里的阴影部分，就是发送0、但抽样值超过门限，被判成1的误码概率。

4. 判决门限\(\gamma_0\)的作用：划分判决区域
门限\(\gamma_0\)把横轴切成了两个互斥的区域：

• \(\gamma_0\)右侧：判为1的区域（\(H_1\)区域）
• \(\gamma_0\)左侧：判为0的区域（\(H_2\)区域）

5. 图里\(z_a(T)\)的判决逻辑
图里的\(z_a(T)\)在\(\gamma_0\)的右侧，按照规则判为\(H_1\)（二进制1），这个判决是合理的：

• 这个点对应的\(\ell_1 > \ell_2\)，也就是「这个抽样值来自1的概率，远大于来自0的概率」
• 哪怕它离\(a_1\)还有距离，我们依然选概率更大的那个结果，这就是最大似然判决的核心思想。

3.4 系统核心性能指标：\(E_b/N_0\)¶

通信系统抗噪声能力的核心表征，定义为每比特信号能量\(E_b\)与噪声单边功率谱密度\(N_0\)的比值，是衡量系统接收性能的黄金指标。

(1) 核心公式：

\(S\)：信号功率，\(N\)：噪声功率，\(W\)：系统带宽，\(R_b\)：信息比特率，\(T_b=1/R_b\)：比特周期

(2) 与信噪比SNR的关系：

(3) 物理意义： 系统达到指定误比特率\(P_B\)时，所需的\(E_b/N_0\)越低，系统接收性能越好。

四、匹配滤波器（最佳接收核心）¶

匹配滤波器是AWGN信道下，以最大输出信噪比为准则的最佳接收滤波器，是数字通信接收机的核心模块，也是VLSI实现的关键单元。

4.1 最佳接收准则¶

1. 最大输出信噪比准则：使输出信号在判决时刻\(t=T\)的瞬时功率与噪声平均功率之比达到最大
2. 最小错误概率准则：使白噪声环境下的判决错误概率最小
   • 两个准则在AWGN信道下完全等价

4.2 匹配滤波器的核心定义¶

对于持续时间为\(0≤t≤T\)的信号\(s(t)\)，其匹配滤波器的冲激响应为：

• 物理意义：匹配滤波器的冲激响应是发送信号\(s(t)\)的时域反转+时移
• 核心性质：信号\(s(t)\)受AWGN干扰时，通过其匹配滤波器，可在\(t=T\)时刻获得最大输出信噪比，最大信噪比为：

\(E\)为信号\(s(t)\)的能量，与波形形状无关
- 该性质的证明见：匹配滤波器输出最大信噪比证明

4.3 匹配滤波器的相关器实现¶

匹配滤波器在\(t=T\)时刻的输出，等价于接收信号\(r(t)\)与发送信号\(s(t)\)的互相关运算：

证明：

• 工程意义：VLSI实现中，相关器比时域滤波器更易数字实现，是匹配滤波器的常用硬件实现方式
• 二进制最佳接收机：可设计为\(s_1(t)\)和\(s_2(t)\)两路匹配滤波器的差值，\(z(T)>0\)判为\(s_1\)，\(z(T)<0\)判为\(s_2\)

4.4 典型示例¶

余弦脉冲信号：\(s(t)=\begin{cases}cos2\pi f_0 t, & t\in[0,T] \\ 0, & 其他\end{cases}\)

• 匹配滤波器冲激响应：\(h(t)=cos2\pi f_0 (T-t), \ 0≤t≤T\)
• 输出峰值在\(t=T\)时刻，信噪比达到最大值

理解：假设 \(r(t) = s(t)\)，则：

4.5 基于匹配滤波器的接收机¶

• 当输入为\(s_{1}(t)+n(t)\)时，输出信号值大于零，判\(s_{1}(t)\)出现；
• 当输入为\(s_{2}(t)+n(t)\)时，输出信号值小于零，判\(s_{2}(t)\)出现。

五、高斯噪声干扰下的二进制信号检测¶

5.1 核心检测准则¶

5.1.0 先验概率¶

设M个信号为 \(s_m(t), m = 1,2,\cdots,M\)，相应的先验概率为 \(p(s_m)\)。
如果我们没有收到 \(r(t)\)，则我们总是估计 \(p(s_m)\) 最大的那个信号为最可能被发送。
如果我们收到了信号：

5.1.1 最大后验概率准则（MAP）¶

选择使后验概率\(p(s_m|r)\)最大的发送信号\(s_m\)作为判决结果，即：

• 核心：结合信号先验概率\(p(s_m)\)和似然函数\(p(r|s_m)\)做判决，是理论上的最优准则
• \(p(s_m|r) = \frac{p(r|s_m) \cdot p(s_m)}{p(r)}\)

5.1.2 最大似然准则（ML）¶

当发送信号先验等概时（\(p(s_m)=1/M\)），MAP准则等价于ML准则，选择使似然函数\(p(r|s_m)\)最大的信号：

• 似然函数：信号\(s_i\)的似然函数u定义为条件概率密度函数\(P(z|s_i)\)
• AWGN信道下，ML准则等价于最小距离准则：选择与接收信号欧式距离最小的发送信号
• 工程应用：先验概率未知时，通常采用ML准则，是最常用的检测方式

5.1.3 与最小距离准则的关系¶

由于对数函数的单调性，所以最大后验概率准则（MAP）也等价于：

由

最大后验概率准则为：

最大似然概率准则（\(ML\)）：

若记 \(D_m \triangleq \| \mathbf{r} - \mathbf{s}_m \|^2\) \(\Leftrightarrow \arg\max_{m} \left\{ -\frac{1}{N_0} \| \mathbf{r} - \mathbf{s}_m \|^2 \right\}\)
最大似然概率准则（\(ML\)）等价于最小距离准则

5.1.4 最大似然准则的理解¶

最大似然判决准则：若一致信号的先验概率\(P(s_1)\)和\(P(s_2)\)，则信号的最大似然判决准则定义为：

证明：

信号模型：\(z(t) = s_i(t)+n(t), i=1,2\)
观测值的条件概率密度函数：
\(f_{s_1}(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp{\{-\frac{1}{n_0}\int_0^{T_s}[z(t)-a_1]^2dt\}}\)
\(f_{s_2}(z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_n}\exp{\{-\frac{1}{n_0}\int_0^{T_s}[z(t)-a_2]^2dt\}}\)

假设选取的判决门限是\(z_0^{\prime}\)，那么发送\(s_1(t)\)和\(s_2(t)\)的判决错误概率分别是：
\(P_{s_1}(s_2)=\int_{z_0^{\prime}}^{+\infty} f_{s_1}(z) dz\)
\(P_{s_2}(s_1)=\int_{-\infty}^{z_0^{\prime}} f_{s_2}(z) dz\)

平均误码率：

令其导数等于零：

因此：

• 当信号的先验概率相等时，判决规则简化为：\(P(z_a|s_1) > P(z_a|s_2)\) 则判定为\(s_1\)，反之判定为\(s_2\)，即最大似然准则（ML）
• 对于高斯噪声干扰的信道，最佳判决门限可解的为：\(z(T)\underset{H_2}{\overset{H_1}{\gtrless}}\frac{a_1+a_2}{2}=\gamma_0\)

5.2 最佳判决门限¶

5.2.1 通用最佳门限¶

通过最小化平均误码率求导可得，最佳判决门限\(\gamma_0\)满足：

误码率定义：

5.2.2 典型场景门限¶

(1) 二进制双极性基带信号

\(s(t)=\begin{cases}+a+n(t), & 发1 \\ -a+n(t), & 发0\end{cases}\)

最佳判决门限(令\(\frac{\partial P_B}{\partial \gamma_0}=0\)可以解得)：

先验等概时（\(P(S_1)=P(S_2)=0.5\)），\(\gamma_0=0\)，是最常用的判决门限

(2) 二进制单极性基带信号

先验等概时，最佳门限\(\gamma_0=\frac{a_1+a_2}{2}\)（\(a_1\)为1的幅值，\(a_2\)为0的幅值）

5.3 误码率计算¶

平均误码率通用公式：

\(P(e|S_1)\)：发\(S_1\)错判为\(S_2\)的概率，\(P(e|S_2)\)：发\(S_2\)错判为\(S_1\)的概率

先验等概二进制双极性信号（AWGN信道）：

• \(Q(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_x^{\infty} e^{-t^2/2} dt\) 为互补误差函数，单调递减，\(x\)越大，误码率越低

六、码间串扰（ISI）与信道均衡¶

6.1 码间串扰基础¶

6.1.1 ISI定义与成因¶

定义：系统传输特性不理想，导致前后码元波形畸变、拖尾，对当前码元的判决造成干扰
本质成因：信号频带有限 → 时域无限延伸 → 相邻码元在判决时刻相互叠加
定量表达式：

接收信号抽样值（\(t=kT_B\)）：

• \(\{a_n\}\) : 发送的码元序列，\(a_n\)为第\(n\)个码元的幅值，取值为0，1
• \(d(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n \delta(t-nT_B)\) : 发送信号
• \(h(t)\) : 信道的冲激响应，描述信道对输入信号的时域响应特性
• \(d(t) * h(t)\) : 发送信号经过信道后的输出，包含了码元间的叠加效应
• \(a_k h(0)\)：当前码元的有用信号
• \(\sum_{\substack{n=-\infty \\ n≠k}}^{\infty} a_n h[(k-n)T_B]\) : 其他码元对当前码元的串扰，即ISI
  \(n_R(kT_B)\)：噪声采样值

6.1.2 ISI的危害¶

• 直接导致判决错误，提升系统误码率
• 产生误码率地板效应：即使信噪比无限提升，误码率也无法下降到0，成为系统性能的瓶颈
  

6.2 无码间串扰的时域条件¶

要完全消除抽样时刻的ISI，需满足：

两种可能：

• 判决时刻波形已衰减到0（理想情况，实际很难实现）
• 判决时刻波形虽然不为0，但其他码元的叠加恰好抵消了ISI（实际可行的设计方法）

6.3 信道均衡滤波器¶

均衡器的核心作用：补偿信道的非理想特性，减小甚至消除码间串扰，是基带接收机的关键模块。

在学习迫零均衡（Zero-Forcing）时，初学者极易产生一个误解：认为这是在强行改变用户的原始数据。我们需要纠正一个核心视角：

1. 区分“信号”与“信道响应”：

   • 迫零均衡方程组中的 \(x_k\) 不是用户发送的随机数据序列，而是信道对“单个孤立脉冲”的冲激响应。
   • 它代表了多径信道对传输信号造成的“指纹”特征（即一个脉冲通过信道后产生的拖尾）。

2. “强制为0”的真实含义：

   • 当连续数据流通过多径信道时，相当于无数个受损的单脉冲在时域上线性叠加。
   • 迫零均衡器的目标是：通过精心设计的滤波器系数 \(\{c_i\}\)，将信道原本拖长了的单脉冲，重新“校准”回一个干净的、没有拖尾的脉冲。
   • 因此，强制 \(y_{k \neq 0} = 0\)，本质上是抵消掉该脉冲在其他码元时刻的“回声”干扰。

3. 为什么这样能消除ISI？：

   • 当每一个单脉冲都被处理得“各行其是”（只在自己的时刻有值，其他时刻为0）时，它们在抽样时刻就不会对前后码元产生任何干扰。此时，多径效应带来的码间串扰（ISI）就被完美消除了。

6.3.1 核心实现：有限长横向滤波器¶

结构：抽头延迟线+可调系数乘法器+加法器，\(2N+1\)个抽头，抽头间隔为码元周期\(T_B\)
输出表达式（\(t=kT_B\)时刻）：

\(c_i\)：第\(i\)个抽头的系数，\(x(t)\)：均衡器输入信号（接收滤波器输出）

6.3.2 迫零均衡器¶

最经典的均衡器设计方法，核心是强制除\(k=0\)外，其他抽样时刻的输出均为0，消除抽样时刻的ISI。
抽头系数满足的方程组：

用矩阵表示为：

求解方式： 由输入信号的抽样值构成托普利兹矩阵，求解线性方程组得到抽头系数\(c_i\)
工程特性：

• 抽头数越多，均衡效果越好，但硬件复杂度（乘法器、加法器数量）越高，需做性能-复杂度权衡
• 有限抽头数无法完全消除所有ISI，只能最小化抽样时刻的ISI

6.3.3 均衡效果评价：峰值失真准则¶

• 输入峰值失真：\(D_0 = \frac{1}{x_0} \sum_{\substack{k=-\infty \\ k≠0}}^{\infty} |x_k|\)
• 输出峰值失真：\(D = \frac{1}{y_0} \sum_{\substack{k=-\infty \\ k≠0}}^{\infty} |y_k|\)
• 评价指标：\(\frac{D}{D_0}\)，比值越小，均衡效果越好

七、本章核心总结¶

1. 基带传输是数字通信的基础：无论是基带直传还是带通传输，都必先完成数字序列到基带波形的映射，基带波形设计直接决定系统传输性能。
2. AWGN信道下的最佳接收：匹配滤波器实现最大输出信噪比，最大似然检测实现最小错误概率，二者共同构成最佳接收机，是VLSI数字通信接收机设计的核心框架。
3. 码间串扰是系统性能的核心瓶颈：非理想信道特性导致ISI，通过横向均衡器（尤其是迫零均衡器）可有效抑制ISI，需在性能和硬件复杂度间做权衡。
4. 系统性能核心链路：基带波形设计 → 发送/接收滤波 → 匹配滤波最佳接收 → 抽样判决 → 均衡抑制ISI，每个环节都直接影响最终的误码率性能。
5. VLSI实现重点：匹配滤波器的相关器实现、均衡器的抽头系数求解与硬件映射、判决器的低复杂度设计，是本章内容的工程落地核心。