常系数线性微分方程的齐次解

一. 导言¶

线性时不变系统是系统理论和信号处理的基础，许多复杂的系统可以通过LTI系统的理论进行分析和设计，并且其数学描述（如微分方程、传递函数、状态空间模型）具有成熟的理论框架，便于研究和应用。

本系列将从连续信号/系统（LTI）的时域分析开始讲起，在时域范围内刻画这类系统的重要工具便是：常系数线性微分方程与卷积积分。

二. 符号说明¶

正式开始前，为了方便后续书写和介绍，首先介绍一些符号或简记法。

2.1 微分方程的算子表示¶

为了书写方便，我们用 \(p\) 表示微分算符，即 \(\frac{d}{dt}\)，那么自然而然的，我们可以用 \(\frac{1}{p}\) 表示积分算符，即 \(\int \, dt\)。
同时，我们要求这些算子遵循一些基本代数运算，意即：
(1) 相乘运算：\(p^n=\frac{d^n}{dt^n}\)
(2) 代数和：\((p^m+p^n)x(t)=p^mx(t)+p^nx(t)=\frac{d^mx(t)}{dt^m}+\frac{d^nx(t)}{dt^n}\)
(3) 因式分解和多项式变形：\((p+3)(p+2)x(t)=(p^2+5p+6)x(t)=\frac{d^2}{dt^2}x(t)+5\frac{d}{dt}x(t)+6x(t)\)

举个例子，引入该算符后，微分方程：

可以简记为：

其中\(D(p)\)和\(N(p)\)分别表示关于\(p\)的多项式，并且各项系数均为常数，至于其阶数是多少我们不必在此作详细规定，根据实际情况判断即可。请注意：我们要做的，仅仅是一个方便书写和阅读的记法而已，无需在这种细节上顾虑太多。

Q: 有读者可能会问了：这里的\(r(t)\)和\(e(t)\)的含义是什么呢？为什么函数\(r(t)\)及其各阶导数项全部在方程左边，函数\(e(t)\)及其各阶导数项全部在方程右边？

A: 其中\(r(t)\)表示输出信号或者响应，\(e(t)\)表示输入信号或者激励。在研究的常系数线性微分方程时，我们通常把输出量（一般都是需要我们去求解的量）放在方程左边，把输入量（一般都是已知的量）放在方程右边，这样便于我们分析。相信这种表示方法各位读者在《高等数学》《数学分析》等先修课程中已经习惯。至少大家肯定熟悉这个式子：

在下侧表格中，我们也进行了一定说明。

2.2 相关函数符号¶

三. 常系数线性齐次微分方程¶

LTI系统微分方程的一般形式：

本系列我们只考虑这类方程的经典解法，也就是把微分方程的解做如下分解：

完全解 = 齐次解 + 特解

这里的完全解就是原微分方程\(D(p)r(t) = N(p)e(t)\)的解。齐次解就是原微分方程对应的常系数线性齐次微分方程\(D(p)r(t)=0\)的解，而特解则是输入量\(e(t)\)及其各阶导数项以及\(D(p)\)的形式共同决定的。如果我们仅仅考虑该方程本身（即不考虑系统的初始条件），那么可以料想到，完全解就是特解与任意系数倍齐次解的叠加，相信有《线性代数》基础的读者可以很容易理解，这里不过多赘述。
我们以一道微分方程：

为例。展开常系数线性微分方程的解法。

3.1 经典解法——齐次解¶

怎样求解一个齐次方程？¶

\(\frac{d^2}{dt^2}r(t)+4\frac{d}{dt}r(t)+3r(t)=7\)对应的齐次方程为：

作为一个初学者（完全没有任何微分方程基础的同学），我们可以这样思考：

(1) Q：怎么求出\(r(t)\)呢？或者说，当\(r(t)\)是什么样的函数形式时，能够满足上述函数方程？
A：聪明的读者可能瞬间就能想到\(r(t)=0\)的时候是满足上述齐次方程的。
读者千万不要认为这是耍小聪明，这是一个很重要的结果！为什么呢？显然0是这个函数的一个特殊形式，那么假设我们能够寻找到这个函数的一般式，则这个一般式是必须要能够在某种情况下退化为这个特殊形式，否则我们得到的一般式是错的，之后我们会对这一点进行验证。

(2) Q：除了\(r(t)=0\)，还有没有其他函数也能满足该函数方程呢？
A：我们注意观察方程左侧，这是原函数及其一系列导数项的线性组合。
想要让这个线性组合成为零，即满足齐次方程，这对函数类型提出了要求。
什么叫函数类型？比如说指数函数、三角函数、幂函数等就是不同的函数类型。
那什么样的函数类型能满足这个式子呢？幂函数\(at^n\)可以吗？我们不妨试试，将\(r(t)=at^n\)代入后得到：

要想让这个式子成立，显然条件太过特殊，因此幂函数很有可能不是我们要求的\(r(t)\)的函数类型。
通过上述尝试，我们可以发现，一个“好的”，能够满足上述齐次方程的\(r(t)\)，其求导后，最好能够变\(ar(t)\)(\(a\)是一个常数)的形式，这样的话，方程就可以变为：

这样，我们只需要让\(a^2+4a+3=0\)即可使得：

看到这里大家就可以发现，原方程差不多已经可以解出来了，我们只需要让\(\frac{dr(t)}{dt}=ar(t)\)即可。但进行这一步之前，我们不妨想想，为什么我们仅仅是假设了：

其求导后，最好能够变\(ar(t)\)的形式

这个条件，就能使得方程简化为如此清爽的形式🧐？ 因为有了这个假设之后，该函数及其各阶导数项都会有一个公因子\(r(t)\)，这样就能单独将这个公因子“拎出来”，而这个公因子前面的系数，就完全由函数及其各阶导数项的系数决定，并且，这个系数还是一个与\(r(t)\)无关的常数！ 我们令这个系数等于0，就能解出\(a\)的值，从而再根据方程\(\frac{dr(t)}{dt}=ar(t)\)完全确定函数\(r(t)\)。

上述：系数 = 0 的这个方程，我们就称之为原微分方程的“特征方程”，而这个方程的解（即\(a\)的值），被称为原微分方程的特征根。而函数\(r(t)\)的类型，大家也能很敏锐的猜到——其实就是指数函数\(e^{at}\)!

下面我们正式开始解齐次方程(2)。
基于前面的分析，我们首先要根据特征方程：系数 = 0 解出参数\(a\)。然后再解一个简单的微分方程\(\frac{dr(t)}{dt} = ar(t)\)即可解出\(r(t)\)。
根据(3)，我们可以解得：

不好！现在的情况是\(a\)存在多个解，那么又该怎么求解\(r(t)\)呢？到底哪一个\(a\)才是正确的呢？
其实两个\(a\)都是正确的！这对应了齐次方程可能是有多个解的，事实上也确实如此。 修习过《线性代数》课程的同学很容易理解，为什么一个齐次方程会存在多个解。
我们分别利用方程\(\frac{dr(t)}{dt} = ar(t)\)，即可解出\(r(t)\):

那么齐次方程(2)的解，根据线性代数的知识，就可以表示为：

其中\(c_1,c_2\)是待定系数。

到这里，我们就得到了函数\(r(t)\)的一般表达式，可以说已经完全解决了齐次方程(2)。但是别忘了，我们还需要验证0是否在这个一般式中能够体现？ 显然，我们只需要令\(c_1 = c_2 = 0\)即可满足条件。

特征根与齐次解¶

通过上述分析我们可以总结出结论一：
1. 其实任意一个特征根\(\lambda\)就对应着齐次方程的一个解\(e^{\lambda t}\)；
2. 解齐次方程的本质，就是在解它的特征方程。
读者可以想想这是为什么，通过3.1.1.1的分析相信大多数读者都可以轻松回答出这个问题，如果读者感到些许疑惑，也没关系🥰，不妨亲自动手做一做3.1.1.1中的案例。

实际情况中，我们还可能遇到其他类型的齐次方程，他们或许不像齐次方程(2)那般简单，比如：

但别担心，只需要记住 任意一个特征根\(\lambda\)就对应着齐次方程的一个解\(e^{\lambda t}\) 就能很轻松的写出它的解，至于如何解特征方程，则不是这里需要考虑的内容。
接下来，我们再来考虑几个简单的例子，来帮助大家理解掌握这个过程。

(1) 齐次方程：\(\frac{d^2}{dt^2}r(t)+2\frac{d}{dt}r(t)+r(t)=0 \quad(4)\)

我们同样采取3.1.1.1中的方法，得到这个齐次方程的特征根为：

那么齐次解就为：

读者肯定发现了这个解的奇怪的地方，也就是说，重根导致两个解完全相同了！这样的话，两个解实际上可以合并为一个，齐次解更应该写成：

所以这个齐次方程的解只有一项，而不像齐次方程(2)中的那样有两项。
真的是这样吗？
或许我们可以尝试构造其他类型形式的函数，带入齐次方程观察是否满足条件。根据以上的经验，我们不妨选取函数：

代入(4)后，得到：

因此有：

好了，我们已经嗅到了一丝解的线索，只需要解决\(v''(t)=0\)即可。
很明显，\(v''(t)=0\)的解为：

其中，\(A,B\)是待定系数，那么，自然而然的有一个问题是，怎样确定待定系数\(A，B\)？

正确的回答是：我们不必确定待定系数\(A, B\)，读者可以自行思索这是为什么。如果思索过后，仍然觉得疑惑，可以看下面的解答：

我们不必关心\(A, B\)的具体取值，因为我们发现，直接将\((At+B)e^{-t}\)代入原微分方程(4)后，必定是成立的。为什么呢？我们可以发现，这一个解中，\(Be^{-t}\)其实就是我们在假设\(v(t)e^{-t}\)之前，得到的那个解，根据线性齐次微分方程的叠加性，我们可以将这部分解直接舍去，保留其中最重要的线性无关项：\(Ate^{-t}\)
因为这是齐次方程，而且，直到现在，我们并未考虑一个确定解的待定系数的关键因素——初始条件/边界条件。

总之，经过读者的思索或者参考上述解答之后，可以明白，方程(4)的另一个解就是：

在这之中，有没有什么一般规律在呢🧐🧐🧐？我们回顾一下我们的求解过程：

a. 齐次方程\(\frac{d^2}{dt^2}r(t)+2\frac{d}{dt}r(t)+r(t)=0\) 的特征根为：-1
b. 因此根据之前介绍的方法，只能写出一个解：\(c_1e^{-t}\)
c. 有没有其他解呢？
d. 我们猜测是有的
e. 不妨设其他解为：\(v(t)e^{-t}\)
f. 代回原方程，经过演算与线性方程的解的叠加性，“凑”出了另一个解：\(c_2te^{-t}\)

可以发现，这种差异，就是由于特征方程的重根引起的，我们再来看看以下几个特征方程的例子：
\(a.\) \((t-1)^3=0\)
\(b.\) \((t-1)^2(t-2)=0\)
\(c.\) \((t-1)^2(t-2)^2=0\)
\(...\)
\(x.\) \((t-a)^n\)

仿照我们求解方程(4)的做法，很容易得到，这些特征方程对应的线性齐次微分方程的解分别为：
\(a:\) \(e^{-t}, \quad te^{-t},\quad t^2e^{-t}\)
\(b:\) \(e^{-t}, \quad te^{-t},\quad e^{-2t}\)
\(c:\) \(e^{-t}, \quad te^{-t},\quad e^{-2t},\quad te^{-2t}\)
...
\(x:\) \(e^{-at}, \quad te^{-at},\quad t^2e^{-at},...,\quad t^{n-1}e^{-at}\)

中，各项的线性组合。
因此，我们不加证明的给出结论二：
如果线性齐次微分方程的特征根\(\lambda\)的代数重数为\(k\)，那么这个线性齐次微分方程的解中，必然包含这些解，而且它们是线性无关的：

代数重数，就是说这个根是几重根，比如:
\(a.\) 方程\((t-1)^3=0\)，根\(t=1\)的重数就是\(3\)；
\(c.\) 方程\((t-1)^2(t-2)^2=0\)，根\(t=1\)的重数就是\(2\)，根\(t=2\)的重数也是\(2\)；
\(x.\) 方程\((t-a)^n\)，根\(t=a\)的重数就是\(n\)。

这个结论很容易理解，而且经过对方程(4)的分析，相信读者也很容易接受这个结论。

(2) 齐次方程：\(\frac{d^2}{dt^2}r(t)+r(t)=0 \quad(5)\)

方程(5)的形式非常简单，在开始求解之前，请读者根据自己以往的知识和经验，不妨猜测一下，这个方程的解，会是哪一类基本初等函数🧐？

答案是：\(\sin(t)\)以及\(\cos(t)\)，读者可以自行代回验证。

现在我们开始正式求解这个方程，与上面的例子一样，我们依旧按部就班：

a. 特征方程为：\(r^2+1=0\)
b. 特征根为：\(r_1 = j, r_2=-j\)

问题出现了，这个特征方程的根，与上面的例子有很大不同——它们是虚数根😮！
那怎么办呢？我们还能够采取与上述例子相同的方式继续求解吗？
我们不妨试试。

c. 带入公式，方程的解为：\(e^{jt},e^{-jt}\)
d. 将解代回原方程(5)，发现：\(\frac{d^2}{dt^2}e^{jt}+e^{jt}=-e^{jt}+e^{jt}=0,\frac{d^2}{dt^2}e^{-jt}+(-e^{jt})=e^{jt}-e^{jt}=0\)。完全满足条件
e. 因此，原方程的解为： \(e^{jt},e^{-jt}\)

综上a~e步，我们得到了原方程的解为： \(e^{jt},e^{-jt}\)
等等，这与我们在正式求解之前，通过经验猜出来的解：\(\sin(t)\)以及\(\cos(t)\)似乎有点不一样？是什么原因呢？难道说原方程的解包含上述四种？
聪明的读者，看到这里，应该能够给出一个很好的答案解决上述疑问。

没错——欧拉公式\(e^{jx}=\cos{x}+j\sin{x}\)

我们应用以下欧拉公式就可以得到：

因此方程的解可以写作：

与猜测出来的解完全一致！(如果我们不关注系数的话，这需要通过初始条件求得)
求解到这里，相信读者必然感觉到很沉重😟😟😟，因为齐次方程(4)与(5)的求解似乎与3.1.1.2节开头给出的结论有些不同，但是不必担心，特殊情况总是存在的，而且，我们可以很明确的告知读者，所有特殊情况已经分析完毕😄😄😄，其余的案例，无非就是上述三种情况(特征方程：a. 无重根、b. 有重根、c. 有虚根)的组合。例如，我们看下列的案例。

(3) 齐次方程：\(\frac{d^2}{dt^2}r(t)+\frac{d}{dt}r(t)+r(t)=0 \quad(6)\)

求解步骤：

a. 特征方程：\(r^2+r+1=0\)
b. 特征根：\(r_1 = \frac{-1+j\sqrt{3}}{2},r_2 = \frac{-1-j\sqrt{3}}{2}\)（读者可能很不习惯将虚数单位“\(j\)”放在数字前面数学，但是，我们在电类课程中的大部分情况都是如此，这样可以很清晰的体现实部与虚部，进而求解幅频和相频。因此希望读者习惯这种写法。）
c. 齐次解：\(r_1(t)=e^{r_1t}=e^{\frac{-1+j\sqrt{3}}{2}t},r_2(t)=e^{r_2t}=e^{\frac{-1-j\sqrt{3}}{2}t}\)
d. 整理得：\(r_1'(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}t},r_2'(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\sin{\frac{\sqrt{3}}{2}t}\)

到这里，我们可以根据案例(5)(6)总结出一类规律（结论三）：
如果特征方程存在成对共轭复数根\(\sigma \pm j\omega\)，那么对应齐次解：\(e^{\sigma t}\cos(\omega t), e^{\sigma t}\sin(\omega t)\)
至此，求解常系数线性齐次微分方程的所有方法已经介绍完毕，所有方法凝练为前文中标注的三条结论，这里再次陈述一下：

结论一：任意一个特征根\(\lambda\)就对应着齐次方程的一个解\(e^{\lambda t}\)
结论二：如果线性齐次微分方程的特征根\(\lambda\)的代数重数为\(k\)，那么这个线性齐次微分方程的解中，必然包含：\(e^{-\lambda t}, \quad te^{-\lambda t},\quad t^2e^{-\lambda t},...,\quad t^{k-1}e^{-\lambda t}\)，而且它们是线性无关的。
结论三：如果特征方程存在成对共轭复数根\(\sigma \pm j\omega\)，那么对应齐次解：\(e^{\sigma t}\cos(\omega t), e^{\sigma t}\sin(\omega t)\)
聪明的读者可以发现，其实结论三已经包含在了结论一中，大家可以想想这是为什么，这里我就不给出解答了。所以，做重要的结论，就是结论一和结论二。

(4) 齐次方程：\((p^4+2p^3+3p^2+2p+1)r(t)=0 \quad(7)\)

其中\(p\)代表微分算符\(\frac{d}{dt}\)，\(pr(r),p^2r(t)\)则分别代表：\(\frac{d}{dt}r(t),\frac{d^2}{dt^2}r(t)\)，诸如此类。
求解步骤：

a. 特征方程：\(r^4+2r^3+3r^2+2r+1=0\)，即\((r^2+r+1)^2=0\)
b. 特征根：\(r_{1,2} = \frac{-1+j\sqrt{3}}{2},r_{3,4} = \frac{-1-j\sqrt{3}}{2}\)
c. 齐次解：\(e^{\frac{-1+j\sqrt{3}}{2}t},e^{\frac{-1-j\sqrt{3}}{2}t},te^{\frac{-1+j\sqrt{3}}{2}t},te^{\frac{-1-j\sqrt{3}}{2}t}\)
d. 整理得：\(e^{-\frac{1}{2}t}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}t},e^{-\frac{1}{2}t}\sin{\frac{\sqrt{3}}{2}t},te^{-\frac{1}{2}t}\cos{\frac{\sqrt{3}}{2}t},te^{-\frac{1}{2}t}\sin{\frac{\sqrt{3}}{2}t}\)

为了求解这个方程，我们使用了结论一、结论二、结论三，请读者仔细体会一下他们分别在第几步使用到。

特征根与齐次解总结¶

其中\([1,t,t^2,..., t^{k-1}][e^{\sigma t}\cos(\omega t), e^{\sigma t}\sin(\omega t)]\)表示\(e^{\sigma t}\cos(\omega t), e^{\sigma t}\sin(\omega t),te^{\sigma t}\cos(\omega t), te^{\sigma t}\sin(\omega t),...,t^{k-1}e^{\sigma t}\cos(\omega t), t^{k-1}e^{\sigma t}\sin(\omega t)\)
这张表中的所有对应关系，都可以由我们在 特征根与齐次解 一节提到的结论一、结论二、结论三推出，请读者务必仔细体会。另外，需要补充的一点就是，在上述求解过程中，有一个很重要的结论，我们或显式，或隐式的包含在我们的分析过程中，即：

我们将这个结论称作称作结论四，之所以在本文最后才提出这个结论，是因为这个结论可以直接由结论一推出(需要结合代数基本定理)。至于如何推导，就不给大家证明了，我们需要做的，仅仅是停留在求解这一步上。
阅读至此，相信读者已经掌握了解决常系数线性齐次微分方程的基本方法，那么，再来一道例子练练手：

答案：解为：\(r(t) = c_1e^{t}+c_2te^{t}+c_3\cos{t}+c_4\sin{t}\)

四. 总结¶

经过本文学习，恭喜读者已经掌握了求解常系数线性齐次微分方程的基本解法，我们再来回顾一下比较重要的结论：
结论一： 任意一个特征根\(\lambda\)就对应着齐次方程的一个解\(e^{\lambda t}\)
结论二：如果线性齐次微分方程的特征根\(\lambda\)的代数重数为\(k\)，那么这个线性齐次微分方程的解中，必然包含：\(e^{-\lambda t}, \quad te^{-\lambda t},\quad t^2e^{-\lambda t},...,\quad t^{k-1}e^{-\lambda t}\)，而且它们是线性无关的。
结论三：如果特征方程存在成对共轭复数根\(\sigma \pm j\omega\)，那么对应齐次解：\(e^{\sigma t}\cos(\omega t), e^{\sigma t}\sin(\omega t)\)。
结论四：常系数线性齐次微分方程中线性无关解的个数，等于原微分方程的阶数。
理解并掌握以上四条结论，知道为什么这四条结论成立，知道我们是怎样通过结合例子分析得出这四条结论的，读者就可以基本应对所有常见的常系数线性齐次微分方程。